固定小数点演算をPythonで実装する｜小数を"整数のまま"扱うハードの技

小さなマイコンやDSP、AIアクセラレータの一部は、コストや電力のために浮動小数点回路を持ちません。それでも小数を扱うために使うのが 固定小数点。整数演算だけで小数を計算する技をPythonで実装します。低レイヤやハードウェア設計で必須の考え方です。

発想：整数を"何倍か"して使う

固定小数点は「小数点の位置を固定で決めておく」方式。例えば「常に256倍した整数」として扱えば、3.5は 3.5 × 256 = 896 という整数で表せます。演算は普通の整数演算、表示のときだけ256で割る——これだけです。

準備

Python標準機能だけ。

① Qフォーマットで小数を整数化

「Q8」＝小数部8ビット（256倍）で実装します。

SCALE = 256                       # 2^8（小数部8ビット = Q8）

def to_fixed(x):   return round(x * SCALE)       # 実数 → 固定小数点整数
def to_float(q):   return q / SCALE              # 固定小数点整数 → 実数

a = to_fixed(3.5)
b = to_fixed(1.25)
print("3.5 =", a, " 1.25 =", b)                  # 896 320

② 足し算・掛け算

足し算はそのまま。掛け算は「256×256倍」になるので、後で256で割って戻します。

def fixed_add(a, b):
    return a + b                                 # スケールが同じなのでそのまま

def fixed_mul(a, b):
    return (a * b) // SCALE                       # 掛けると2乗倍 → 割って戻す

s = fixed_add(to_fixed(3.5), to_fixed(1.25))
m = fixed_mul(to_fixed(3.5), to_fixed(1.25))
print("3.5 + 1.25 =", to_float(s))               # 4.75
print("3.5 × 1.25 =", to_float(m))               # 4.375

出力は 4.75 と 4.375。整数演算だけで小数計算ができました。浮動小数点回路がなくても、シフトと整数の加減乗で済むのが利点です。

③ 丸め誤差を見る

小数部のビット数で精度が決まります。表せない値は近い値に丸められます。

x = 0.1
q = to_fixed(x)
print(f"0.1 → 整数 {q} → 戻すと {to_float(q)}")   # 0.1 → 26 → 0.1015625
print("誤差:", to_float(q) - x)

0.1 はQ8では正確に表せず、わずかな誤差が出ます。ビット数を増やせば精度は上がるが、桁（メモリ・回路）が増えるというトレードオフ。用途に応じて小数部の幅を決めます。

まとめ

• 固定小数点は小数を「一定倍した整数」として扱う
• 足し算はそのまま、掛け算は割り戻す（スケール調整）
• 浮動小数点回路がなくても整数演算で小数計算できる
• 精度とビット幅のトレードオフ。AIの量子化にも通じる発想

もう少し詳しく（背景と理論）

固定小数点は、小数点の位置をあらかじめ固定して整数として扱う数値表現です。整数演算器だけで小数を扱えるため、浮動小数点ユニットを持たない組み込み・DSP・FPGA・ASIC で電力と面積を大きく節約できます¹。表記には Q フォーマット（例：Q15 は符号1bit＋小数15bit）がよく使われ、整数部と小数部のビット配分で表せる範囲と分解能が決まります²。設計上の要は、限られたビット幅で生じる量子化誤差と、桁あふれ（オーバーフロー）の管理です——飽和演算やスケーリングで対処します³。浮動小数点より扱いは面倒ですが、決定論的で高速なため、ニューラルネット推論の量子化など現代の省電力AIでも重要な技術です。

次の一歩 🌸

数の基礎は2進数と2の補数、加算器は4ビット加算器、AIチップはAIチップとHBMへどうぞ。

Footnotes

1. 固定小数点は整数ALUで小数演算を実現する。FPU不要で低電力・低面積・決定論的。DSP・組み込み・ハードウェアアクセラレータで多用される。 ↩

2. Q フォーマット（Qm.n）は整数部 m ビット・小数部 n ビットを表す。分解能は 2⁻ⁿ、範囲は m で決まる。用途に応じて配分を設計する。 ↩

3. 有限ビットゆえの量子化誤差とオーバーフローが課題。飽和（クリッピング）、丸め方式、スケーリングで数値の健全性を保つ。 ↩