2進数と2の補数をPythonで理解する｜コンピュータが負の数を扱うしくみ

コンピュータの中身は0と1だけ。その2進数で、どうやって負の数や引き算を扱うのでしょう？ 鍵は 2の補数 という巧妙な表現です。この記事ではPythonで手を動かし、論理回路の土台になる数の表現を理解します。

準備

Python標準機能だけ。

① 2進数・16進数を行き来する

n = 42
print("2進:", bin(n))       # 0b101010
print("16進:", hex(n))      # 0x2a
print("戻す:", int("101010", 2), int("2a", 16))

# ビットごとに見る（8ビット表示）
print("ビット列:", format(n, "08b"))   # 00101010

② 2の補数：負の数の表し方

2の補数は「全ビット反転して1を足す」だけ。これで引き算が足し算になる魔法が生まれます。

def to_twos_complement(value, bits=8):
    if value < 0:
        value = (1 << bits) + value      # 2の補数表現に
    return format(value, f"0{bits}b")

print("+5:", to_twos_complement(5))     # 00000101
print("-5:", to_twos_complement(-5))    # 11111011

③ なぜ引き算が足し算で済むのか

7 - 5 を「7 + (-5の2の補数)」として計算してみます。

def add8(a, b):
    return (a + b) & 0xFF                # 8ビットに収める（あふれは捨てる）

a = 7
b = (1 << 8) - 5          # -5 の2の補数 = 251
result = add8(a, b)
print("7 + (-5) =", result, "→ 符号付きで", result - 256 if result > 127 else result)

出力は 7 + (-5) = 2。足し算回路（加算器）だけで引き算ができる——だからCPUは引き算専用の回路を持たなくて済むのです。2の補数の最大の利点です。

まとめ

• コンピュータは2進数。bin/hex/intで相互変換できる
• 2の補数は「全ビット反転＋1」で負の数を表す
• おかげで引き算が足し算（加算器）だけで実現できる
• 表現できる範囲を超えるとオーバーフローで値が壊れる

もう少し詳しく（背景と理論）

コンピュータが2進数を使うのは、電圧の高/低という2状態が最も確実に区別できるからです。各桁（ビット）は 2ⁿ の重みを持つ位取り記数法で、n ビットで 2ⁿ 通りを表せます¹。負数の表現には2の補数が事実上の標準です——最上位ビットを符号に使いつつ、加算回路をそのまま流用でき、ゼロが一意になるという利点があります²。「情報の最小単位はビット」という考え方は Claude Shannon が1948年の情報理論で定式化しました³。16進数は2進数4桁をちょうど1桁に圧縮できるため、人が読み書きする際の橋渡しとして使われます。

次の一歩 🌸

足し算回路はNANDから全加算器、論理の基礎は論理回路のしくみ、ブール代数はブール代数をPythonでへどうぞ。

Footnotes

1. 位取り記数法では各桁が基数のべき乗の重みを持つ。2進 n ビットは 0〜2ⁿ−1 の 2ⁿ 通りを表現する。 ↩

2. 2の補数は「ビット反転して1を足す」で負数を作る。減算を加算で処理でき、符号付きゼロが生じない。現代CPUの整数表現の標準。 ↩

3. Shannon, C. (1948). "A Mathematical Theory of Communication." ビットを情報の基本単位として定義し、情報理論を創始した。 ↩